Für \(p \) prim gibt es genau \( p+1 \), wenn \( p = 5 (6) \) oder genau \( p-1 \), wenn \( p = 1 (6) \) Paare \( (a,b) \) mit \( a,b \in F_p \) für die \[ p | a^2 + ab + b^2 + 1 \] gilt.
Gelöst von Matthias Paulsen (Feburar 2021)
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Inspiriert von Mathe-Olympiade 2019/2020 Schulrunde Aufgabe 591214:
Gegeben sei ein regelmäßiges Simplex mit Kantenlänge 1. Nun spiegeln wir für jede Kante einen Randpunkt an den anderen und umgekehrt, und erhalten damit zwei Punkte für jede Kante, also \( 2 \cdot {n \choose 2} \) Punkte. In Dimensionen 1,2 hat die entstehende konvexe Hülle jeweils Volumen 3 und 13. In der MO-Aufgabe ist (mit einfacher Elementargeometrie) zu zeigen, dass in 3 Dimensionen wir Volumen 63 bekommen.
Vermutung: In Dimension n bekommen wir die n-te zentrale Delannoy-Zahl. Eigene Berechnungen mit QHull zeigen dass in 4 Dimensionen das entstehende Objekt Volumen 321 hat, was diese These stützt.
Gelöst von Matthias Paulsen (Feburar 2022)
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